เส้นขนานและมุมภายใน

บทนิยามของเส้นขนาน

         เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรงทั้งสองเส้น นั้นไม่ตัดกัน

เส้นขนาน 2 เส้น

เส้นตรง 2 เส้นขนานกันเมื่อระยะห่างระหว่าง 2 เส้นนี้เท่ากันเสมอ
ใชัสัญลักษณ์ // แทนความหมายของเส้นขนาน
เช่น AB // CD หมายถึงเส้น AB ขนานกับเส้น CD
หรือใช้สัญลักษณ์ หัวลูกศรชี้ไปทิศเดียวกัน กำกับไว้บนเส้น เช่น

    หมายถึง เส้น AB ขนานกับเส้น CD

เส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD 

เส้นตรง EF ตัดเส้นตรง AB และ CD 
เกิดมุมรอบจุดตัดบนเส้น AB จำนวน 4 มุม ได้แก่ มุม 1, มุม 2, มุม 3 และมุม 4 
เกิดมุมรอบจุดตัดบนเส้น CD จำนวน 4 มุม ได้แก่ มุม 5, มุม 6, มุม 7 และมุม 8

     นิยาม เส้นตรงสองเส้นที่บนระนาบเดียวกันขนานกันเมื่อเส้นทั้งสองนี้ไม่ตัดกัน

                 หลักการง่ายที่ใช้พิจารณาว่าเส้นตรงสองเส้นขนานกันหรือไม่

                    1. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัดแล้วขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเป็น 180 องศา

                    2. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเป็น 180 องศาแล้ว เส้นตรงคู่นี้จะขนานกัน

บทนิยาม

          เส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมีเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเราเรียกมุมที่อยู่ภายในระหว่างเส้นคู่ขนานเรียกว่า มุมภายใน

มุมภายในบนข้างเดียวของเส้นตัด

          ab // cd มีเส้นตรง ef ตัด ทำให้เกิดมุมภายในบนข้างเดียวกันของเส้นตัดสองข้าง คือ มุม 1 กับ 3 และ มุม 2 กับ 4

ตัวอย่าง 1

          ab // cd มีเส้นตรง ef ตัด ทำให้เกิดมุมภายในบนข้างเดียวกันของเส้นตัดสองข้าง คือ มุม 1 กับ 3 และ มุม 2 กับ 4

ตัวอย่าง 2

          กำหนดให้ ab และ cd แต่ละรูปขนานก้น มุมภายในบนเส้นเดียวกันของเส้นตัดบวกกันได้ 180°

          เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมัเส้นตัดแล้ว ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเป็น 180 องศา


ตัวอย่าง 3
           จงหาค่าของมุม a ในกรณีต่อไปนี้

                                     a = 180° - 125° = 55°

          ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเป็น 180 องศาแล้ว เส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน

มุมภายในเส้นขนาน และ มุมภายนอกเส้นขนาน

        สามารถแบ่ง มุม 8 มุมบนเส้นขนานสองเส้น เป็น 2 กลุ่ม โดยใช้เส้นขนาน AB และ CD 

         กลุ่มที่ 1 มุมภายใน 
หมายถึงมุมที่อยู่ภายในเส้นขนาน 2 เส้น 
ได้แก่ มุม 3, มุม 4, มุม 5 และ มุม 6 

        กลุ่มที่ 2 มุมภายนอก 
หมายถึงมุมที่อยู่ภายนอกเส้นขนาน 2 เส้น 
ได้แก่ มุม 1, มุม 2, มุม 7 และ มุม 8 

มุมด้านซ้ายของเส้นตัด และ มุมด้านขวาของเส้นตัด

       เรียกเส้น EF ว่า 'เส้นตัด' 

เพราะเป็นเส้นที่ตัดเส้นขนาน 2 เส้น สามารถแบ่ง มุม 8 มุมบนเส้นขนานสองเส้น
เป็น 2 กลุ่ม โดยใช้เส้น EF 

       กลุ่มที่ 1 มุมด้านซ้ายของเส้นตัด 
หมายถึงมุมที่อยู่ด้านซ้ายของเส้น EF 
ได้แก่ มุม 1, มุม 3, มุม 5 และ มุม 7 

       กลุ่มที่ 2 มุมด้านขวาของเส้นตัด 
หมายถึงมุมที่อยู่ด้านขวาของเส้น EF 
ได้แก่ มุม 2, มุม 4, มุม 6 และ มุม 8 

มุมแย้งเท่ากัน

มุมแย้ง 

        คือมุมภายในที่อยู่บนเส้นขนานคนละเส้น 

และอยู่บนเส้นตัดเส้นเดียวกันแต่อยู่คนละด้าน 

        มุม 3 เป็นมุมภายในอยู่บนเส้นขนาน AB และอยู่ด้านซ้ายของเส้นตัด EF
        มุม 6 เป็นมุมภายในอยู่บนเส้นขนาน CD และอยู่ด้านขวาของเส้นตัด EF 
        มุม 3 และ มุม 6 เป็นมุมแย้ง ดังนั้น มุม 3 = มุม 6 เพราะมุมแย้งเท่ากัน 
        มุม 4 เป็นมุมภายในอยู่บนเส้นขนาน AB และอยู่ด้านขวาของเส้นตัด EF
        มุม 5 เป็นมุมภายในอยู่บนเส้นขนาน CD และอยู่ด้านซ้ายของเส้นตัด EF 
        มุม 4 และ มุม 5 เป็นมุมแย้ง ดังนั้น มุม 4 = มุม 5 เพราะมุมแย้งเท่ากัน

มุมภายนอกเท่ากับมุมภายในบนเส้นขนานคนละเส้น แต่อยู่บนด้านเดียวกันของเส้นตัด

        พิจารณาด้านซ้ายของเส้นตัด EF
        มุม 1 เป็นมุมภายนอกบนเส้นขนาน AB
        มุม 5 เป็นมุมภายในอยู่บนเส้นขนาน CD
        ดังนั้น มุม 1 = มุม 5 เพราะมุมภายนอกเท่ากับมุมภายใน
        บนด้านเดียวกันของเส้นตัด
        มุม 3 เป็นมุมภายในบนเส้นขนาน AB
        มุม 7 เป็นมุมภายนอกอยู่บนเส้นขนาน CD
        ดังนั้น มุม 3 = มุม 7 เพราะมุมภายในเท่ากับมุมภายนอก
บนด้านเดียวกันของเส้นตัด

        พิจารณาด้านขวาของเส้นตัด EF
        มุม 2 เป็นมุมภายนอกบนเส้นขนาน AB
        มุม 6 เป็นมุมภายในอยู่บนเส้นขนาน CD
        ดังนั้น มุม 2 = มุม 6 เพราะมุมภายนอกเท่ากับมุมภายใน
บนด้านเดียวกันของเส้นตัด

       มุม 4 เป็นมุมภายในบนเส้นขนาน AB
       มุม 8 เป็นมุมภายนอกอยู่บนเส้นขนาน CD
       ดังนั้น มุม 4 = มุม 8 เพราะมุมภายในเท่ากับมุมภายนอก
บนด้านเดียวกันของเส้นตัด

ผลบวกมุมภายในบนด้านเดียวกันของเส้นตัดเท่ากับ 180 องศา

       พิจารณาด้านซ้ายของเส้นตัด EF
       มุม 3 เป็นมุมภายในบนเส้นขนาน AB
       มุม 5 เป็นมุมภายในอยู่บนเส้นขนาน CD    
       ดังนั้น มุม 3 + มุม 5 = 180° 
       เพราะเป็นผลบวกมุมภายในบนด้านเดียวกันของเส้นตัด

      พิจารณาด้านขวาของเส้นตัด EF
      มุม 4 เป็นมุมภายในบนเส้นขนาน AB
      มุม 6 เป็นมุมภายในอยู่บนเส้นขนาน CD 
     ดังนั้น มุม 4 + มุม 6 = 180° 
     เพราะเป็นผลบวกมุมภายในบนด้านเดียวกันของเส้นตัด

สรุป คุณสมบัติเกี่ยวกับมุมบนเส้นขนาน

มุมแย้งเท่ากัน

มุม 3 = มุม 6 

มุม 4 = มุม 5

มุมภายนอก = มุมภายใน

มุม 1 = มุม 5 

มุม 3 = มุม 7

มุม 2 = มุม 6 

มุม 4 = มุม 8 

ผลบวกมุมภายใน = 180° 

มุม 3 + มุม 5 = 180° 

มุม 4 + มุม 6 = 180°